3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне А1В1 треугольника А1В1С1 взята точка D1. Известно, что треугольники ADC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников АВС и A1B1C1

Решение:

По условию, \(\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1\). Из этого следует, что:

• AC = A₁C₁
• AD = A₁D₁
• \(\angle ADC = \angle A_1D_1C_1\)

Также по условию, DB = D₁B₁.

Нам нужно доказать, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Рассмотрим стороны AB и A₁B₁.

AB = AD + DB

A₁B₁ = A₁D₁ + D₁B₁

Так как AD = A₁D₁ и DB = D₁B₁, то AB = A₁B₁.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

• AC = A₁C₁ (из равенства \(\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1\))
• AB = A₁B₁ (доказано выше)
• \(\angle CAB = \angle C_1A_1B_1\) (из равенства \(\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1\), так как \(\angle DAC = \angle D_1A_1C_1\))

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Доказано.