2. Через вершину A квадрата ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к его плоскости. Известно, что AK = 8 см, AB = 10 см. Найдите расстояние от точки K до: а) диагонали BD; б) вершины C.

а) Расстояние от K до BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата. Так как диагонали квадрата перпендикулярны и делятся пополам, \(AO\perp BD\), а расстояние от A до BD равно \(AO\).

\(AO=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\) см. Поскольку \(AK\perp\) плоскости квадрата, треугольник KAO прямоугольный:

\(d(K,BD)=KO=\sqrt{AK^2+AO^2}=\sqrt{8^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{114}\) см.

б) Расстояние от K до C. В прямоугольном треугольнике KAC имеем \(AC=10\sqrt{2}\) см и \(AK=8\) см:

\(KC=\sqrt{AK^2+AC^2}=\sqrt{8^2+(10\sqrt{2})^2}=\sqrt{264}=2\sqrt{66}\) см.

Ответ: а) \(\sqrt{114}\) см; б) \(2\sqrt{66}\) см.