3. Из точки P проведён перпендикуляр PC к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники PAD и PAB прямоугольные. Найдите стороны прямоугольника, если AP = 15 см, DP = 10 см, CP = 6 см.

Так как \(PC\perp\) плоскости ABCD, то \(PC\perp CD\) и \(PC\perp BC\). В прямоугольнике \(CD\perp AD\), а \(BC\perp AB\). Следовательно, \(AD\perp\) плоскости PCD и \(AB\perp\) плоскости PCB. Поэтому \(AD\perp PD\), а \(AB\perp PB\): треугольники PAD и PAB прямоугольные, с прямыми углами при D и B соответственно.

Из прямоугольного треугольника PCD:

\(CD=\sqrt{DP^2-CP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\) см. Значит, \(AB=CD=8\) см.

В прямоугольном треугольнике PAD:

\(AD=\sqrt{AP^2-DP^2}=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 8 см и \(5\sqrt{5}\) см.