4. Из точки M проведён перпендикуляр MB к плоскости треугольника ABC. BM = 9 см, AC = 10 см, BC = BA = 13 см. Найдите расстояние от точки M до прямой AC.

Обозначим через \(H\) основание перпендикуляра из \(B\) на \(AC\). Поскольку \(BA=BC\), высота \(BH\) делит основание \(AC\) пополам: \(AH=HC=10:2=5\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(BH=\sqrt{BA^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см.

Так как \(MB\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то \(MB\perp BH\). Следовательно, треугольник \(MBH\) прямоугольный, а расстояние от \(M\) до прямой \(AC\) равно \(MH\):

\(MH=\sqrt{MB^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\) см.

Ответ: 15 см.