2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD — вписанный четырёхугольник. Противоположные углы в сумме дают 180°.

\( \angle ABC + \angle ADC = 180° \) → \( 92° + \angle ADC = 180° \) → \( \angle ADC = 180° - 92° = 88° \).

\( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну дугу AD, поэтому \( \angle ABD = \angle ACD \).

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 88° \).

\( \angle CAD = 60° \). Угол \( \angle CBD \) опирается на дугу CD, как и \( \angle CAD \). Значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 60° \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \):

\( \angle ABC = 92° \).

\( \angle BAC + \angle ACB = 180° - 92° = 88° \).

\( \angle BAC = \angle BAD - \angle CAD \).

Угол \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на дугу BC, поэтому \( \angle BAC = \angle BDC \).

Угол \( \angle CAD = 60° \).

Угол \( \angle CBD = 60° \).

Угол \( \angle ABD \) является частью \( \angle ABC \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \) → \( 92° = \angle ABD + 60° \) → \( \angle ABD = 92° - 60° = 32° \).

Ответ: 32