2. Дан параллелограмм NMKL. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Докажите: а) \(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ML}\); б) \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{LN}+\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{KO}-\overrightarrow{MO}=\vec 0\).

Обозначим радиус-векторы вершин буквами \(N,M,K,L\), а точки диагоналей — \(O\). В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{OK}\) и \(\overrightarrow{KO}=\overrightarrow{OM}\). Также противоположные стороны равны и параллельны: \(\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{NM}\), \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{NK}\).

а) Сгруппируем векторы по правилу сложения последовательных перемещений:

\(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{MN}\), а \(\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{NK}\).

Левая часть равна \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NK}=\overrightarrow{MK}\). Правая часть: \(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{NL}\). Следовательно, заявленное равенство в общем случае неверно: оно требовало бы \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{NL}\), чего для произвольного параллелограмма не выполняется.

Например, для вершин \(N=(0,0), M=(1,0), K=(1,1), L=(0,1)\), левая часть равна \((1,1)\), а правая — \((0,1)\).

б) Используем координатные радиус-векторы: пусть \(N=\vec 0\), \(M=\vec u\), \(L=\vec v\), тогда \(K=\vec u+\vec v\), \(O=(\vec u+\vec v)/2\). Левая часть выражения равна

\((N-M)-(N-L)+(K-L)+(O-K)-(O-M)\)

\(=-\vec u+\vec v+\vec u+\frac{\vec u+\vec v}{2}-(\vec u+\vec v)-\frac{\vec u+\vec v}{2}+\vec u=\vec 0\).

Ответ: пункт а) содержит ошибку и неверен для произвольного параллелограмма; пункт б) доказан.