4. Даны векторы \(\vec a=\{3;1\}\), \(\vec b=\{-2;5\}\), \(\vec c=\{0;6\}\). а) Разложите указанные векторы по координатным векторам \(\vec i,\vec j\). б) Найдите координаты векторов \(\vec a+\vec b;\ 3\vec c-\vec a;\ \frac12\vec a-\vec b\). в) Найдите длины векторов \(|\vec a|,|\vec b|,|\vec c|\). г) Найдите скалярное произведение векторов \((\vec a,\vec b)\). д) Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).

а) Вектор с координатами \((x;y)\) раскладывается как \(x\vec i+y\vec j\):

\(\vec a=3\vec i+\vec j\), \(\vec b=-2\vec i+5\vec j\), \(\vec c=6\vec j\).

б) Координаты складываем и умножаем покомпонентно:

\(\vec a+\vec b=(3-2;1+5)=(1;6)\).

\(3\vec c-\vec a=(0;18)-(3;1)=(-3;17)\).

\(\frac12\vec a-\vec b=(\frac32;\frac12)-(-2;5)=(\frac72;-\frac92)\).

в) Используем формулу \(|(x;y)|=\sqrt{x^2+y^2}\):

\(|\vec a|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(|\vec b|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{29}\), \(|\vec c|=\sqrt{0^2+6^2}=6\).

г) Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

\(\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-2)+1\cdot5=-1\).

д) \(\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\), поэтому

\(\cos\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt{10}\sqrt{29}}=-\dfrac1{\sqrt{290}}\).

Ответ: а) \(3\vec i+\vec j; -2\vec i+5\vec j; 6\vec j\); б) \((1;6),(-3;17),(\frac72; -\frac92)\); в) \(\sqrt{10},\sqrt{29},6\); г) \(-1\); д) \(-1/\sqrt{290}\).