№2. Дана функция y = (8x + 1)^(5/4) − 30x. а) Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 10]. Составьте уравнение касательной к графику функции y = 3x^(1/3) − 5, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

1) Исследование функции y = (8x + 1)^(5/4) − 30x.

Область определения: x ≥ −1/8.

y′ = 10(8x + 1)^(1/4) − 30. Критическая точка: 10(8x + 1)^(1/4) − 30 = 0, откуда x = 10.

На промежутке [−1/8; 10) производная отрицательна, а на (10; +∞) положительна. Поэтому функция убывает на [−1/8; 10] и возрастает на [10; +∞). При x = 10 функция имеет минимум: y(10) = 81^(5/4) − 300 = 243 − 300 = −57. Максимума на всей области определения нет.

На отрезке [0; 10] функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при x = 0, а наименьшее — при x = 10: y(0) = 1; y(10) = −57.

Ответ: а) убывает на [−1/8; 10], возрастает на [10; +∞); минимум −57 при x = 10, максимума нет. б) наибольшее значение 1, наименьшее −57.

2) Касательная к y = 3x^(1/3) − 5.

Угловой коэффициент касательной равен tan α = 0,25. Производная функции y′ = x^(−2/3). Приравниваем её к 0,25: x^(−2/3) = 0,25, откуда x = −8 или x = 8.

При x = 8: y = 1, поэтому уравнение касательной y − 1 = 0,25(x − 8), то есть y = x/4 − 1.

При x = −8: y = −11, поэтому уравнение касательной y + 11 = 0,25(x + 8), то есть y = x/4 − 9.

Ответ: y = x/4 − 1 и y = x/4 − 9.