№4. 1) Исследуйте функцию y = 4 ln x − x²/2 на монотонность и экстремумы. 2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y = 2 ln x − x² в точке x = 2. 3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = ln(2x − 1) + 2 ln(8 − x) на отрезке [1; 7]. 4) Найдите угол между касательной к графику функции y = 3 ln(2x) + √x в точке x = 4 и положительным лучом оси абсцисс. 5) Исследуйте функцию y = e^x(3x − 2) на монотонность и экстремумы. 6) Напишите уравнение касательной к графику функции y = ln(2x − 5) в точке x = 3.

1) y = 4 ln x − x²/2. Область определения: x > 0. Производная y′ = 4/x − x = (4 − x²)/x. Она положительна при 0 < x < 2 и отрицательна при x > 2. Функция возрастает на (0; 2] и убывает на [2; +∞). В точке x = 2 — максимум: y(2) = 4 ln 2 − 2. Минимума нет.

2) y = 2 ln x − x². y′ = 2/x − 2x. Поэтому y′(2) = 1 − 4 = −3.

3) y = ln(2x − 1) + 2 ln(8 − x), [1; 7]. Производная y′ = 2/(2x − 1) − 2/(8 − x). Она обращается в ноль при x = 3, положительна до 3 и отрицательна после 3. Значения в критической точке и на концах: y(3) = ln 125; y(1) = ln 49; y(7) = ln 13. Следовательно, наибольшее значение — ln 125, наименьшее — ln 13.

4) y = 3 ln(2x) + √x, x = 4. Производная y′ = 3/x + 1/(2√x). Тогда y′(4) = 3/4 + 1/4 = 1. Значит, tan α = 1, откуда α = 45°.

5) y = e^x(3x − 2). y′ = e^x(3x + 1). Поскольку e^x > 0, производная отрицательна при x < −1/3 и положительна при x > −1/3. Функция убывает на (−∞; −1/3] и возрастает на [−1/3; +∞). Минимум достигается при x = −1/3: y(−1/3) = −3/e^(1/3). Максимума нет.

6) y = ln(2x − 5), x = 3. y(3) = 0, а y′ = 2/(2x − 5), поэтому y′(3) = 2. Уравнение касательной: y − 0 = 2(x − 3).

Ответ: 1) максимум 4 ln 2 − 2 при x = 2; 2) −3; 3) наибольшее значение ln 125, наименьшее ln 13; 4) 45°; 5) минимум −3/e^(1/3) при x = −1/3; 6) y = 2x − 6.