2. Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Найдите угол между высотой пирамиды и ребром SB, если высота пирамиды равна 2√3, а сторона основания равна 6. Ответ дайте в градусах.

Обозначим основание высоты пирамиды через O. В правильной треугольной пирамиде O — центр равностороннего треугольника ABC.

Радиус описанной окружности основания:

\(OB=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).

По условию \(SO=2\sqrt{3}\). Так как \(SO\perp ABC\), треугольник SOB прямоугольный:

\(SB=\sqrt{SO^2+OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).

Пусть \(\alpha\) — искомый угол между SO и SB. Тогда

\(\cos\alpha=\dfrac{SO}{SB}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Следовательно, \(\alpha=45^\circ\).

Ответ: 45°.