4. Дан правильный тетраэдр SABC. Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани SAC, опущенной из вершины S, и высотой грани ABC, опущенной из вершины B.

Пусть M — основание высоты грани SAC из вершины S, а N — основание высоты грани ABC из вершины B.

В правильном тетраэдре точки M и N являются серединами ребра AC. Поэтому обе высоты проходят к одной и той же точке M=N и лежат в гранях SAC и ABC.

Введём координаты: пусть \(AC=1\), а середина AC — начало координат. Тогда высоты SM и BM имеют одинаковую длину \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), а угол между ними равен углу между медианами двух равносторонних граней.

Для правильного тетраэдра этот угол равен \(60^\circ\). Следовательно,

\(\tan^2 60^\circ=3\).

Ответ: 3.