7. Дана правильная треугольная пирамида SABC с высотой √3 и ребром основания 2. Найдите угол между высотой пирамиды и ребром SC.

Пусть O — основание высоты пирамиды. Для равностороннего треугольника ABC со стороной 2:

\(OC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\).

По условию \(SO=\sqrt{3}\). В прямоугольном треугольнике SOC:

\(SC=\sqrt{SO^2+OC^2}=\sqrt{3+\dfrac{4}{3}}=\sqrt{\dfrac{13}{3}}\).

Если \(\alpha\) — искомый угол, то

\(\cos\alpha=\dfrac{SO}{SC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{13/3}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\).

Следовательно,

\(\alpha=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}\approx 33{,}7^\circ\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{3}{\sqrt{13}}\approx 33{,}7^\circ\).