8. Дан правильный тетраэдр SABC. Найдите угол между ребром AS и высотой грани SBC, опущенной из вершины B.

Пусть M — основание высоты грани SBC из вершины B. В равностороннем треугольнике SBC точка M — середина SC.

Рассмотрим векторное произведение или координаты правильного тетраэдра. Можно получить:

\(|AS|=a\), \(|BM|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\), а скалярное произведение направляющих векторов прямых AS и BM равно \(\dfrac{a^2}{4}\).

Поэтому

\(\cos\alpha=\dfrac{a^2/4}{a\cdot(\sqrt{3}a/2)}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\).

Следовательно,

\(\alpha=\arccos\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx73{,}2^\circ\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx73{,}2^\circ\).