2. Дано: ABCD — трапеция, ∠ACD = 90°, AB = BC = CD. Найти: ∠B = ?

Question

Вопрос:

2. Дано: ABCD — трапеция, ∠ACD = 90°, AB = BC = CD. Найти: ∠B = ?

Accepted Answer

Поскольку основания трапеции параллельны (BC ∥ AD), ∠ACB = ∠CAD. Обозначим эти углы через x.

В прямоугольном треугольнике ACD: ∠CDA = 90° − x. По теореме синусов, CD/AC = sin x/cos x = tan x.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, поэтому углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠ACB = x. По теореме синусов, AB/AC = sin x/sin(180° − 2x) = 1/(2 cos x).

Так как AB = CD, получаем tan x = 1/(2 cos x), откуда sin x = 1/2. Следовательно, x = 30°.

Тогда ∠B = 180° − 2x = 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠B = 120°.