2. Дано: \( \angle AOB : \angle UBC = 11 : 12 \). Найти: \( \angle BCA, \angle BAC \).

Решение:

По условию задачи, \( \angle AOB : \angle UBC = 11 : 12 \). Обозначим \( \angle AOB = 11x \) и \( \angle UBC = 12x \).

\( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Значит, градусная мера дуги \( AB \) равна \( 11x \).

\( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{11x}{2} \).

\( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \). Градусная мера дуги \( AC \) равна \( 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 12x = 24x \).

Сумма углов треугольника \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \]

\[ \angle BAC + 12x + \frac{11x}{2} = 180^{\circ} \]

Также, сумма центральных углов, опирающихся на всю окружность, равна \( 360^{\circ} \). Если предположить, что \( \angle UBC \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу, то \( 2 \cdot \angle UBC \) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Однако, из условия непонятно, на какую именно дугу опирается \( \angle UBC \), и как он связан с \( \angle AOB \).

Для решения задачи необходима дополнительная информация или уточнение условия.