4*. Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что \( \angle OAB = 30^{\circ}, \angle OCB = 45^{\circ} \). Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Решение:

Пусть \( R = 16 \) см — радиус описанной окружности.

В треугольнике \( \triangle OAB \) \( OA = OB = R = 16 \) см (радиусы). Значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

\[ \angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

По теореме синусов для \( \triangle OAB \):

\[ \frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = 2R \]

\[ AB = 2R \sin(\angle AOB) = 2 \cdot 16 \text{ см} \cdot \sin(120^{\circ}) = 32 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \text{ см} \]

В треугольнике \( \triangle OCB \) \( OC = OB = R = 16 \) см (радиусы). Значит, \( \triangle OCB \) — равнобедренный.

\[ \angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ} \]

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \]

По теореме синусов для \( \triangle OCB \):

\[ \frac{BC}{\sin(\angle BOC)} = 2R \]

\[ BC = 2R \(\sin\)\(\angle BOC\) = 2 \(\cdot\) 16 \(\text{ см}\) \(\cdot\) \(\sin\)\(90^{\circ}\) = 32 \(\text{ см}\) \(\cdot\) 1 = 32 \) см.

Ответ: АВ = \( 16\sqrt{3} \) см, ВС = 32 см.