2. Дано: ∠AOB : ∠AOC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: ∠BOC, ∠ABC.

Пошаговое решение:

1. Из рисунка видно, что углы ∠AOB и ∠BOC являются смежными, так как они образуют развернутый угол ∠AOC. Однако, на рисунке ∠AOC не является развернутым. Предположим, что O – центр окружности, а A, B, C – точки на окружности. Угол ∠AOB является центральным.
2. Также из рисунка видно, что ∠AOC = 60°.
3. Дано соотношение ∠AOB : ∠AOC = 5 : 3.
4. Пусть ∠AOB = 5x и ∠AOC = 3x.
5. По условию ∠AOC = 60°, следовательно, 3x = 60°, откуда x = 20°.
6. Тогда ∠AOB = 5 * 20° = 100°.
7. Угол ∠BOC является разностью между ∠AOB и ∠AOC, если точка C лежит между A и B на дуге, или суммой, если иначе. Исходя из рисунка, ∠AOB > ∠AOC, и ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC (если C внутри ∠AOB).
8. ∠BOC = 100° - 60° = 40°.
9. Теперь найдем ∠ABC. ∠ABC – вписанный угол, который опирается на дугу AC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠AOC = 60°.
10. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠ABC = ∠AOC / 2.
11. ∠ABC = 60° / 2 = 30°.

Ответ: ∠BOC = 40°, ∠ABC = 30°