2. Дано: прямая c — линия пересечения плоскостей α и β. Прямые a и b принадлежат плоскостям α и β соответственно. Доказать: прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Обозначим точки пересечения: A = a ∩ c, B = b ∩ c. По рисунку точки A и B различны.

1. Предположим, что прямые a и b лежат в некоторой плоскости γ.
2. Точки A и B принадлежат плоскости γ, поэтому прямая AB, то есть прямая c, также лежит в γ.
3. Прямые a и c пересекаются и обе лежат в плоскости α. Поэтому плоскость γ, содержащая эти две пересекающиеся прямые, должна совпадать с плоскостью α.
4. Тогда прямая b должна лежать в плоскости α. Но b принадлежит плоскости β и не совпадает с линией пересечения c, следовательно, в плоскости α она лежать не может.

Получили противоречие.

Ответ: прямые a и b не лежат в одной плоскости; они являются скрещивающимися.