№2. ДАНО: Рисунок. В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM — медиана, угол BDC равен 38°. ЗАДАНИЕ: Найдите углы BMD и BDM.

Решение:

В треугольнике BCD стороны BD и CD равны. Следовательно, треугольник BCD — равнобедренный.

DM — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Так как DM — медиана к основанию BC, то DM также является высотой. Значит, угол BDM = 90°.

DM является биссектрисой угла BDC. Угол BDC = 38°.

Угол BDM = Угол MDC = \( \frac{38°}{2} \) = 19°.

В треугольнике BDM:

Угол DBM = Угол BDM = 19° (поскольку BD=CD, то и углы при основании равны).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Угол BMD = 180° - (Угол DBM + Угол BDM) = 180° - (19° + 19°) = 180° - 38° = 142°.

Примечание: В условии задачи сказано, что DM — медиана, а на рисунке угол BDC = 38°. Если DM — медиана к основанию BC, то углы BDM и MDC равны по 19°. Если же DM — медиана к основанию BD или CD (что невозможно, так как M на BC), то логика меняется. Исходя из рисунка и условия, DM соединяет вершину D с серединой стороны BC. Угол, равный 38°, обозначен как BDC. В равнобедренном треугольнике BCD, где BD = CD, угол BDC является углом при вершине, а углы CBD и BCD — углами при основании.

Пересчитаем, исходя из предположения, что BDC — угол при вершине D, а BD = CD.

Треугольник BCD равнобедренный с основанием BC. Углы при основании равны: \( \angle CBD = \angle BCD = \frac{180° - 38°}{2} = \frac{142°}{2} = 71° \).

DM — медиана к основанию BC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, DM ⊥ BC, значит, \( \angle BMD = 90° \).

DM делит угол BDC пополам: \( \angle BDM = \angle MDC = \frac{38°}{2} = 19° \).

Проверка: В треугольнике BDM: \( \angle DBM = 71° \), \( \angle BDM = 19° \), \( \angle BMD = 90° \). Сумма углов = 71° + 19° + 90° = 180°.

Ответ: \( \(\angle\) BMD = 90°, \(\angle\) BDM = 19°.