2) Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=5\sqrt2\) см, \(AC=4\) см, \(\angle A=135^\circ\). Найти: \(BC\), \(S_{\triangle ABC}\), \(R\) описанной окружности.

По теореме косинусов:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A=50+16-40\cos135^\circ=66+40=106\).

Следовательно, \(BC=\sqrt{106}\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними:

\(S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=10\) см².

По теореме синусов \(\frac{BC}{\sin A}=2R\), поэтому \(R=\frac{\sqrt{106}}{2\sin135^\circ}=\sqrt{53}\) см.

Ответ: \(BC=\sqrt{106}\) см, \(S_{\triangle ABC}=10\) см², \(R=\sqrt{53}\) см.