4) Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если его периметр равен 32 см, а боковая сторона меньше основания на 4 см.

Обозначим основание через \(x\) см. Тогда каждая боковая сторона равна \(x-4\) см.

По условию периметра: \(x+2(x-4)=32\), откуда \(3x=40\) и \(x=\frac{40}{3}\) см. Боковая сторона равна \(\frac{28}{3}\) см.

Высота к основанию делит его пополам. По теореме Пифагора её длина:

\(h=\sqrt{\left(\frac{28}{3}\right)^2-\left(\frac{20}{3}\right)^2}=\frac{8\sqrt6}{3}\) см.

Площадь треугольника \(S=\frac12\cdot\frac{40}{3}\cdot\frac{8\sqrt6}{3}=\frac{160\sqrt6}{9}\) см². Используем формулу \(R=\frac{abc}{4S}\):

\(R=\frac{\left(\frac{28}{3}\right)^2\cdot\frac{40}{3}}{4\cdot\frac{160\sqrt6}{9}}=\frac{49\sqrt6}{9}\) см.

Ответ: \(\frac{49\sqrt6}{9}\) см.