№ 2. Дано: UAB : UAC = 5 : 7 (рис. 8.179). Найти: ∠BOC, ∠ABC.

На рисунке \(\angle BAC=60^\circ\). Он опирается на дугу BC, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше: \(\angle BOC=2\cdot60^\circ=120^\circ\).

Тогда дуги AB и AC вместе составляют \(360^\circ-120^\circ=240^\circ\). Пусть их меры равны \(5x\) и \(7x\). Получаем \(12x=240^\circ\), откуда \(x=20^\circ\), а дуга AC равна \(7x=140^\circ\).

Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, поэтому \(\angle ABC=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ\).

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 70°.