2. Даны координаты вершин четырёхугольника ABCD: A(-6; 1), B(0; 5), C(6; -4), D(0; -8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Найдём векторы сторон: \(\overrightarrow{AB}=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6;-9)\), \(\overrightarrow{CD}=(-6;-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(-6;9)\).

Противоположные стороны параллельны: \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\). Значит, ABCD — параллелограмм.

Соседние стороны перпендикулярны, поскольку \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Середина AC имеет координаты \(\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0;-1.5)\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; точка пересечения диагоналей — \((0;-1.5)\).