2. Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-2;1), B(-2;5), D(4;1). Начертите этот прямоугольник. а) Найдите координаты вершины С. б) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. в) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Вариант - 1

1. Координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-2;1), B(-2;5), D(4;1).
2. а) Координаты вершины С:

   В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Также, векторы AB и DC равны, как и векторы AD и BC.

   Найдем вектор AB:

   \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - (-2); 5 - 1) = (0; 4) \]

   Прибавим вектор AB к координатам точки D, чтобы найти координаты точки C:

   \[ C = D + \vec{AB} = (4 + 0; 1 + 4) = (4; 5) \]

   Координаты вершины C: (4;5)

3. б) Координаты точки пересечения диагоналей:

   Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из диагоналей. Найдем середину диагонали AC (или BD).

   Середина AC:

   \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 4}{2}; \frac{1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}; \frac{6}{2} \right) = (1; 3) \]

   Координаты точки пересечения диагоналей: (1; 3)

4. в) Площадь и периметр прямоугольника:

   Найдем длины сторон AB и AD.

   Длина стороны AB:

   \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \]

   Длина стороны AD:

   \[ AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \]

   Площадь прямоугольника:

   \[ S = AB \times AD = 4 \times 6 = 24 \]

   Периметр прямоугольника:

   \[ P = 2(AB + AD) = 2(4 + 6) = 2(10) = 20 \]

   Площадь: 24 см², Периметр: 20 см