2. Даны векторы а и Б, причем а=4j-3k, |Б| = √2, (ā b) = 45°. Найти a) āb; б) значение т, при котором векторы а и с (2; m; 8) перпендикулярны.

Дано:

• Вектор 4 = 4j - 3k
• |Б| = √2
• (ā b) = 45°
• Вектор с = (2; m; 8)

Найти:

• а) āb
• б) значение m, при котором векторы а и с перпендикулярны.

Решение:

1. а) Находим скалярное произведение āb.
• Сначала представим вектор а в координатной форме. Так как нет компоненты i, она равна 0.
• \[ \vec{a} = (0; 4; -3) \]
• Скалярное произведение векторов находим по формуле:
• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \]
• Найдем длину вектора а:
• \[ |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
• Теперь найдем скалярное произведение:
• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) \]
• \[ \cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5 \]
2. б) Находим значение m, при котором векторы а и с перпендикулярны.
• Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
• \[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \]
• Скалярное произведение векторов а=(0; 4; -3) и с=(2; m; 8):
• \[ \vec{a} \cdot \vec{c} = (0)(2) + (4)(m) + (-3)(8) \]
• \[ 0 + 4m - 24 = 0 \]
• \[ 4m = 24 \]
• \[ m = \frac{24}{4} = 6 \]

Ответ: а) 5; б) m = 6