3. Найдите угол между прямыми АВ и СД если А (1; 1; 2), B (0; 1; 1), С(2;-2;2) и Д (2;-3;1).

Дано:

• Координаты точек: А(1; 1; 2), В(0; 1; 1), С(2;-2;2), Д(2;-3;1).

Найти:

• Угол между прямыми АВ и СД.

Решение:

1. Находим координаты векторов АВ и СД.
• \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1) \]
• \[ \vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2) = (0; -3 + 2; -1) = (0; -1; -1) \]
2. Находим длины векторов АВ и СД.
• \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]
• \[ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \]
3. Находим скалярное произведение векторов АВ и СД.
• \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1)(0) + (0)(-1) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1 \]
4. Находим косинус угла между векторами.
• Формула для косинуса угла между двумя векторами:
• \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \]
• \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]
5. Находим угол.
• \[ \theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \]

Угол между прямыми равен острому углу между направляющими векторами. Так как 60° - острый угол, то угол между прямыми АВ и СД равен 60°.

Ответ: 60°