4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Найдите угол между прямыми АС и ДС1.

Дано:

• Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁.

Найти:

• Угол между прямыми АС и ДС₁.

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать систему координат. Пусть вершина А куба будет началом координат (0;0;0). Пусть ребро куба равно a. Тогда координаты вершин будут:

• А = (0; 0; 0)
• С = (a; a; 0) (Так как АС - диагональ квадрата АВСD в плоскости XY)
• Д = (a; 0; 0)
• С₁ = (a; a; a) (Так как С1 находится над С на высоте ребра куба)

1. Найдем координаты вектора АС.
• \[ \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (a - 0; a - 0; 0 - 0) = (a; a; 0) \]
2. Найдем координаты вектора ДС₁.
• \[ \vec{DC_1} = (x_{C1} - x_D; y_{C1} - y_D; z_{C1} - z_D) = (a - a; a - 0; a - 0) = (0; a; a) \]
3. Найдем длины векторов АС и ДС₁.
• \[ |\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
• \[ |\vec{DC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
4. Найдем скалярное произведение векторов АС и ДС₁.
• \[ \vec{AC} \cdot \vec{DC_1} = (a)(0) + (a)(a) + (0)(a) = 0 + a^2 + 0 = a^2 \]
5. Найдем косинус угла между векторами.
• Формула для косинуса угла между двумя векторами:
• \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DC_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}|} \]
• \[ \cos(\theta) = \frac{a^2}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{a^2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]
6. Найдем угол.
• \[ \theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \]

Угол между прямыми равен острому углу между направляющими векторами. Так как 60° - острый угол, то угол между прямыми АС и ДС₁ равен 60°.

Ответ: 60°