2 Даны векторы \( \vec{a} (8; 4) \) и \( \vec{b} (-4; -8) \). Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) используется формула:

\( \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \)

где \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — их модули.

1. Вычислим скалярное произведение:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (8) \u0007 (-4) + (4) \u0007 (-8) = -32 - 32 = -64 \)

2. Вычислим модули векторов:

\( |\vec{a}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \u0007 5} = 4\sqrt{5} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \u0007 5} = 4\sqrt{5} \)

3. Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\( \cos \alpha = \frac{-64}{(4\sqrt{5}) \u0007 (4\sqrt{5})} = \frac{-64}{16 \u0007 5} = \frac{-64}{80} \)

4. Упростим дробь:

\( \cos \alpha = -\frac{64}{80} = -\frac{4 \u0007 16}{5 \u0007 16} = -\frac{4}{5} = -0.8 \)

Ответ: -0.8