2. (Демо) Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 58°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АОВ. Так как А и В — точки касания, то ОА и ОВ — радиусы окружности. Следовательно, \( OA = OB \).
2. Треугольник АОВ — равнобедренный.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
4. Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике АОВ: \( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180° \).
5. Так как касательные пересекаются под углом 58°, этот угол является углом \( \angle AOB \).
6. \( 58° + \angle OBA + \angle OBA = 180° \)
7. \( 58° + 2 \cdot \angle OBA = 180° \)
8. \( 2 \cdot \angle OBA = 180° - 58° \)
9. \( 2 \cdot \angle OBA = 122° \)
10. \( \angle OBA = \frac{122°}{2} = 61° \)

Ответ: 61.