2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Диагональ BD разбивает параллелограмм ABCD на два треугольника: ABD и CDB.

Рассмотрим треугольник ABD. Диагональ BD образует со сторонами AB и AD углы 60° и 55° соответственно. Угол при вершине B в треугольнике ABD равен 60°, а угол при вершине D равен 55°.

Угол параллелограмма ABC равен сумме угла ABD и угла DBC. Угол параллелограмма ADC равен сумме угла ADB и угла BDC.

По условию, диагональ BD с сторонами образует углы 60° и 55°. Это означает, что \( \angle ABD = 60° \) и \( \angle ADB = 55° \).

Угол параллелограмма ABC равен \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). Угол параллелограмма ADC равен \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).

Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC.

Следовательно, \( \angle DBC = \angle ADB = 55° \) (как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей BD).

И \( \angle BDC = \angle ABD = 60° \) (как накрест лежащие углы при параллельных AB и DC и секущей BD).

Теперь найдем углы параллелограмма:

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 60° + 55° = 115° \).

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 55° + 60° = 115° \).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

\( \angle BAD + \angle ABC = 180° \) \( \Rightarrow \angle BAD = 180° - 115° = 65° \).

\( \angle BCD = \angle BAD = 65° \).

Углы параллелограмма равны 65°, 115°, 65°, 115°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65.