4. Диагональ прямоугольника образует угол 63° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. Так как \( AO = BO \), он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

По условию, диагональ образует угол 63° с одной из сторон. Пусть это угол \( \angle BAC = 63° \) (угол между диагональю AC и стороной AB).

Так как ABCD — прямоугольник, \( \angle ABC = 90° \).

В треугольнике ABC: \( \angle ACB = 180° - 90° - 63° = 27° \).

В равнобедренном треугольнике AOB, \( \angle OAB = \angle OBA \). Угол \( \angle OBA = \angle ABC - \angle OBC \).

Угол \( \angle BAC = 63° \).

Так как \( AO = BO \), \( \angle OAB = \angle OBA \). Значит, \( \angle OBA = 63° \).

Угол между диагоналями \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (63° + 63°) = 180° - 126° = 54° \).

Этот угол является острым. Вертикальный угол \( \angle COD = \angle AOB = 54° \).

Тупой угол между диагоналями \( \angle BOC = 180° - 54° = 126° \).

Острый угол между диагоналями равен 54°.

Ответ: 54.