2. Диагональ равнобедренной трапеции MNKP образует прямой угол с одной из боковых сторон, ∠MNK = 120°. Найдите KP, если MP = 17 см.

Пусть основания трапеции — \(MN\) и \(KP\), а боковые стороны — \(NK\) и \(MP\). В равнобедренной трапеции \(NK=MP=17\) см. Из условия \(\angle MNK=120^\circ\), поэтому острый угол между боковой стороной и основанием равен \(60^\circ\). Горизонтальная проекция каждой боковой стороны на направление оснований равна \(17\cos 60^\circ=8.5\) см, а высота — \(17\sin 60^\circ=\frac{17\sqrt3}{2}\) см.

Обозначим \(MN=a\). Тогда нижнее основание длиннее верхнего на две проекции боковых сторон: \(KP=a+17\). Перпендикулярной боковой стороне может быть диагональ \(NP\): условие перпендикулярности даёт \((a-8.5)\cdot 8.5=\left(\frac{17\sqrt3}{2}\right)^2\), откуда \(a=34\). Следовательно, \(KP=34+17=51\) см. Диагональ \(MK\) не может быть перпендикулярна боковой стороне \(PM\) при таком расположении: их направления образуют острый угол.

Ответ: \(KP=51\) см.