2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Условие: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

1. Дано: Два треугольника: \( △ ABC \) и \( △ A_1B_1C_1 \).
2. Известно, что: \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( ∠ C = ∠ C_1 \).
3. Доказать: \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \).
4. Доказательство от противного (методом наложения):
1. Наложим \( △ ABC \) на \( △ A_1B_1C_1 \) так, чтобы вершина C совпала с вершиной \( C_1 \), а сторона CA совпала со стороной \( C_1A_1 \).
2. Так как \( AC = A_1C_1 \), то точка A совпадет с точкой \( A_1 \), а точка C совпадет с точкой \( C_1 \).
3. Так как \( ∠ C = ∠ C_1 \), то сторона CB совпадет со стороной \( C_1B_1 \).
4. Так как \( BC = B_1C_1 \), то точка B совпадет с точкой \( B_1 \).
5. Таким образом, все вершины \( △ ABC \) совмещаются с соответствующими вершинами \( △ A_1B_1C_1 \).
6. Следовательно, \( △ ABC = △ A_1B_1C_1 \) по определению равных треугольников.

Вывод: Признак доказан.