4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

Решение:

Пусть \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) — вертикальные углы, а \( ∠ 3 \) — смежный с ними угол.

По свойству вертикальных углов, \( ∠ 1 = ∠ 2 \).

По условию задачи, сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного угла:

\[ ∠ 1 + ∠ 2 = 3 ∠ 3 \]

Так как \( ∠ 1 = ∠ 2 \), то:

\[ 2 ∠ 1 = 3 ∠ 3 \]

Углы \( ∠ 1 \) и \( ∠ 3 \) — смежные, поэтому их сумма равна 180°:

\[ ∠ 1 + ∠ 3 = 180° \]

Выразим \( ∠ 3 \) через \( ∠ 1 \):

\[ ∠ 3 = 180° - ∠ 1 \]

Подставим это выражение в уравнение \( 2 ∠ 1 = 3 ∠ 3 \):

\[ 2 ∠ 1 = 3 (180° - ∠ 1) \]

\[ 2 ∠ 1 = 540° - 3 ∠ 1 \]

\[ 2 ∠ 1 + 3 ∠ 1 = 540° \]

\[ 5 ∠ 1 = 540° \]

\[ ∠ 1 = \frac{540°}{5} \]

\[ ∠ 1 = 108° \]

Значит, вертикальные углы равны 108°.

Найдем смежный угол:

\[ ∠ 3 = 180° - ∠ 1 = 180° - 108° = 72° \]

Проверим условие: сумма вертикальных углов (108° + 108° = 216°) в 3 раза больше смежного угла (72°). \( 216° = 3 \times 72° \). Это верно.

Ответ: Вертикальные углы равны 108°.