2. Докажите, что четырёхугольник MNKP, заданный координатами своих вершин M(2; 2), N(5; 3), K(6; 6), P(3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

Найдём векторы сторон: \(\overrightarrow{MN}=(3;1)\), \(\overrightarrow{NK}=(1;3)\), \(\overrightarrow{KP}=(-3;-1)\), \(\overrightarrow{PM}=(-1;-3)\).

Их длины равны: \(|MN|=|NK|=|KP|=|PM|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\). Следовательно, все стороны равны. Кроме того, противоположные стороны параллельны, поскольку соответствующие векторы противоположны. Значит, MNKP — ромб.

Диагонали: \(\overrightarrow{MK}=(4;4)\), поэтому \(|MK|=4\sqrt2\); \(\overrightarrow{NP}=(-2;2)\), поэтому \(|NP|=2\sqrt2\). Их скалярное произведение равно \(4\cdot(-2)+4\cdot2=0\), то есть диагонали перпендикулярны.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S=\frac{|MK|\cdot|NP|}{2}=\frac{4\sqrt2\cdot2\sqrt2}{2}=8\).

Ответ: MNKP — ромб, его площадь равна 8 квадратным единицам.