3. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; −2). а) Докажите, что △CDE — равнобедренный. б) Найдите биссектрису, проведённую из вершины C.

а) Найдём длины сторон, используя формулу расстояния между точками:

\(CD=\sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

\(CE=\sqrt{(5-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Так как \(CD=CE\), треугольник CDE равнобедренный, его основание — DE.

б) По теореме о биссектрисе она делит противоположную сторону DE в отношении \(CD:CE=1:1\). Значит, биссектриса из C проходит через середину DE. Координаты середины: \(T\left(\frac{6+5}{2};\frac{5+(-2)}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};\frac{3}{2}\right)\).

Прямая CT имеет наклон \(\frac{\frac32-2}{\frac{11}2-2}=-\frac17\), поэтому её уравнение: \(x+7y=16\). Искомая биссектриса — отрезок CT этой прямой, где \(T\) — середина DE.

Ответ: биссектриса из C проходит через точку \(T\left(\frac{11}{2};\frac{3}{2}\right)\); её уравнение \(x+7y=16\).