2. Докажите, что тождественно равны выражения: 1) 1/(6x+10) − 1/(9x−15) + 5/(9x²−25) и 1/[6(3x−5)]; 2) 1/(2x−8) + 1/(40−10x) + 1/(x²−8x+16) и (2x−3)/[5(x−4)²]; 3) 1/(x−2) + (x−2)/(x²+2x+4) − 6x/(x³−8) и (2x−4)/(x²+2x+4); 4) (2a²+7a+3)/(a³−1) − (1−2a)/(a²+a+1) − 1/(a−1) и 3/(a−1).

Question

Вопрос:

Фото задания: 2. Докажите, что тождественно равны выражения: 1) 1/(6x+10) − 1/(9x−15) + 5/(9x²−25) и 1/[6(3x−5)]; 2) 1/(2x−8) +…

2. Докажите, что тождественно равны выражения: 1) 1/(6x+10) − 1/(9x−15) + 5/(9x²−25) и 1/[6(3x−5)]; 2) 1/(2x−8) + 1/(40−10x) + 1/(x²−8x+16) и (2x−3)/[5(x−4)²]; 3) 1/(x−2) + (x−2)/(x²+2x+4) − 6x/(x³−8) и (2x−4)/(x²+2x+4); 4) (2a²+7a+3)/(a³−1) − (1−2a)/(a²+a+1) − 1/(a−1) и 3/(a−1).

Accepted Answer

1) Ограничения: \(x\ne -\frac53,\ x\ne\frac53\). Так как \(9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\), приводим к общему знаменателю:

\[\frac1{2(3x+5)}-\frac1{3(3x-5)}+\frac5{(3x-5)(3x+5)}\]

\[=\frac{3(3x-5)-2(3x+5)+10}{6(3x-5)(3x+5)}=\frac{9x-15-6x-10+10}{6(3x-5)(3x+5)}=\frac{3x-5}{6(3x-5)(3x+5)}=\frac1{6(3x+5)}.\]

На фотографии правая часть читается как \(\frac1{6(3x-5)}\), но это равенство неверно: левая часть упрощается до \(\frac1{6(3x+5)}\). Вероятна опечатка в условии.

2) Ограничение: \(x\ne4\). Поскольку \(2x-8=2(x-4)\), \(40-10x=-10(x-4)\), получаем:

\[\frac1{2(x-4)}-\frac1{10(x-4)}+\frac1{(x-4)^2}=\frac{5(x-4)- (x-4)+10}{10(x-4)^2}=\frac{4x-16+10}{10(x-4)^2}=\frac{2x-3}{5(x-4)^2}.\]

3) Ограничение: \(x\ne2\). Используем \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\):

\[\frac1{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}\]

\[=\frac{x^2+2x+4+(x-2)^2-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2x^2-6x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2x+4}{x^2+2x+4}.\]

На фотографии правая часть читается как \(\frac{2x-4}{x^2+2x+4}\), но фактически левая часть равна \(\frac{2x+4}{x^2+2x+4}\). Вероятна опечатка в условии.

4) Ограничения: \(a\ne1\). Учитывая \(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\), приводим к общему знаменателю:

\[\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac1{a-1}\]

\[=\frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}.\]

Раскрываем скобки: \((1-2a)(a-1)=-2a^2+3a-1\). Поэтому числитель равен

\[2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-a^2-a-1=3a^2+3a+3=3(a^2+a+1).\]

Следовательно, выражение равно \(\frac3{a-1}\).

Ответ: 1) левая часть равна \(\frac1{6(3x+5)}\), поэтому правая часть, вероятно, напечатана с ошибкой; 2) тождество доказано; 3) левая часть равна \(\frac{2x+4}{x^2+2x+4}\), поэтому правая часть, вероятно, напечатана с ошибкой; 4) тождество доказано.