2. Докажите, что в равнобокой трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали имеют равные длины.

Обозначим равнобокую трапецию ABCD так, что AB ∥ CD и AD = BC.

а) Углы при каждом основании равны. Проведём высоты из C и D к прямой AB. Полученные прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы AD и BC и равные высоты. По гипотенузе и катету они равны, поэтому равны углы при основании AB: ∠DAB = ∠ABC. Так как односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°, то из равенства нижних углов следует равенство верхних: ∠CDA = ∠BCD.

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники DAB и CBA. У них AD = BC, AB — общая сторона, а углы DAB и CBA равны по пункту а). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие диагонали DB и AC равны.