2) Докажите теорему о средней линии треугольника.

Теорема: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) соответственно. Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную \(AC\), и обозначим её пересечение с продолжением \(BC\) через \(K\).

1. Так как \(MK\parallel AC\), то \(\angle BMK=\angle BAC\), а \(\angle BKM=\angle BCA\). Следовательно, треугольники \(BMK\) и \(BAC\) подобны.
2. Поскольку \(M\) — середина \(AB\), имеем \(BM=\frac12AB\). Из подобия треугольников следует \(BK=\frac12BC\) и \(MK=\frac12AC\).
3. Так как \(BM=MA\) и \(MK\parallel AC\), из свойств параллельных прямых следует, что \(K=N\). Значит, \(MN\parallel BC\).
4. Кроме того, \(MN=MK=\frac12AC\) в соответствующем обозначении сторон.

Следовательно, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Теорема доказана.