1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Билет №1

• 1. Определение многоугольника: Многоугольник - это простая замкнутая ломаная, состоящая из отрезков (сторон), соединенных в вершинах. Вершина - точка, где сходятся две стороны. Диагонали - отрезки, соединяющие не соседние вершины. Периметр - сумма длин всех сторон. Формула суммы углов выпуклого n-угольника: \[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \] где n - количество сторон.
• 2. Теоремы о средних линиях:
  • Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине этой стороны. Доказательство: Пусть M и N - середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B общий. Стороны MB = AB/2 и NB = BC/2. По двум сторонам и углу между ними (II признак подобия), треугольники ABC и MBN подобны с коэффициентом 1/2. Следовательно, MN/AC = 1/2, т.е. MN = AC/2, и углы BMN и BAC равны. Так как эти углы соответственные при пересечении MN и AC прямыми AB, то MN || AC.
  • Средняя линия трапеции: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен полусумме оснований. Доказательство: Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC, а MN - средняя линия. Соединим середины диагоналей AC и BD. Пусть они пересекаются в точке P. Тогда MP - средняя линия треугольника ABC, следовательно, MP || BC || AD и MP = BC/2. Аналогично, NP - средняя линия треугольника ADC, следовательно, NP || AD || BC и NP = AD/2. Так как P лежит на MN, то MN = MP + PN = BC/2 + AD/2 = (BC + AD)/2. MN || BC || AD.