2. Докажите тождества: а) cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β; б) (2 sin 2α − sin 4α)/(sin 4α + 2 sin 2α) = tg² α.

а) Применим формулы косинуса суммы и разности:

\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\).

Слагаемые с \(\sin\alpha\sin\beta\) сокращаются, поэтому получаем \(2\cos\alpha\cos\beta\). Тождество доказано.

б) Используем формулы двойного угла \(\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha\) и \(1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha\), \(1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha\):

\(\frac{2\sin2\alpha-\sin4\alpha}{\sin4\alpha+2\sin2\alpha}=\frac{2\sin2\alpha(1-\cos2\alpha)}{2\sin2\alpha(1+\cos2\alpha)}=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}= g^2\alpha\).

Равенство верно при тех значениях \(\alpha\), при которых исходная дробь определена.