3. Упростите: а) (√3/2) sin α + cos(α − 5π/3); б) (1 + sin α)/(2 cos α + sin 2α); в) [sin(π/2 − α) cos(π − α)]/[cos²(π − α) tg(3π/2 + α)].

а) Так как \(-\frac{5\pi}{3}\) и \(\frac{\pi}{3}\) отличаются на \(2\pi\), имеем \(\cos(\alpha-\frac{5\pi}{3})=\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})\). Тогда

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cos\alpha\).

б) Преобразуем знаменатель: \(2\cos\alpha+\sin2\alpha=2\cos\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=2\cos\alpha(1+\sin\alpha)\). Сокращаем общий множитель \(1+\sin\alpha\), учитывая, что при его равенстве нулю исходная дробь не определена:

\(\frac{1+\sin\alpha}{2\cos\alpha(1+\sin\alpha)}=\frac{1}{2\cos\alpha}\).

в) Используем тождества \(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\), \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\), \(\cos^2(\pi-\alpha)=\cos^2\alpha\), \( g(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=-\ctg\alpha\):

\(\frac{\cos\alpha(-\cos\alpha)}{\cos^2\alpha(-\ctg\alpha)}=\frac{1}{\ctg\alpha}= g\alpha\).

Ответ: а) cos α/2; б) 1/(2 cos α); в) tg α.