2. Fig. 861. Given: AB:AC = 5:3. Find: ∠BOC, ∠ABC.

Решение:

На рисунке 861 изображена окружность с центром O. Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Угол ∠BOC является центральным углом, опирающимся на ту же дугу BC. Связь между вписанным и центральным углом, опирающимися на одну дугу, заключается в том, что центральный угол в два раза больше вписанного:

• \[ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \]

Однако, в условии задачи дано соотношение дуг AB:AC = 5:3. Отсюда следует, что отношение соответствующих центральных углов также равно 5:3:

• \[ \angle AOB : \angle AOC = 5 : 3 \]

Полный угол вокруг центра O равен 360°. Если предположить, что точки A, B, C лежат на окружности и образуют треугольник, то сумма углов ∠AOB, ∠BOC, ∠AOC должна быть равна 360° (если точка O лежит внутри треугольника) или иным образом, в зависимости от расположения точек.

Учитывая, что в задаче изображен треугольник ABC, вписанный в окружность, и дан центральный угол ∠BAC = 60°, нам необходимо найти ∠BOC и ∠ABC.

1. Нахождение ∠BOC:

Угол ∠BAC = 60° является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Центральный угол ∠BOC также опирается на дугу BC.

• \[ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \]
• \[ \angle BOC = 2 \cdot 60^{\circ} \]
• \[ \angle BOC = 120^{\circ} \]

2. Нахождение ∠ABC:

Угол ∠ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Нам нужно найти величину дуги AC (или соответствующего центрального угла ∠AOC).

Из условия AB:AC = 5:3, где AB и AC — это длины хорд или дуг. Если это отношение длин дуг, то:

• Пусть дуга AB = 5x, а дуга AC = 3x.
• Сумма всех дуг окружности равна 360°. Если точка O находится внутри треугольника, то дуга BC = 360° - (дуга AB + дуга AC). Но у нас есть конкретное значение ∠BAC = 60°.

Угол ∠BAC = 60° опирается на дугу BC. Следовательно, величина дуги BC равна:

• Дуга BC = 2 * ∠BAC = 2 * 60° = 120°.

Теперь мы знаем, что одна из дуг (BC) равна 120°. Отношение дуг AB и AC равно 5:3.

Пусть дуга AB = 5y, дуга AC = 3y.

Сумма всех дуг в окружности равна 360°. В данном случае, дуги AB, AC и BC составляют всю окружность, если точки A, B, C расположены так, что треугольник ABC вписан в окружность.

Важно: Угол ∠BAC = 60° вписан в окружность. Это означает, что дуга, на которую он опирается (дуга BC), равна 2 * 60° = 120°.

Теперь у нас есть:

• Дуга BC = 120°
• Дуга AB : Дуга AC = 5 : 3

Общая сумма углов дуг в окружности равна 360°. Значит:

• Дуга AB + Дуга AC + Дуга BC = 360°
• 5x + 3x + 120° = 360°
• 8x = 360° - 120°
• 8x = 240°
• x = 30°

Теперь найдем величину дуг AB и AC:

• Дуга AB = 5x = 5 * 30° = 150°
• Дуга AC = 3x = 3 * 30° = 90°

Проверка: 150° + 90° + 120° = 360°.

Теперь можем найти ∠ABC. Угол ∠ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.

• \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{Дуга AC} \]
• \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} \]
• \[ \angle ABC = 45^{\circ} \]

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°.