4. A circle with center O and radius 12 cm is circumscribed around triangle MNK such that ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Find the sides MN and NK of the triangle.

Решение:

1. Найдем длину стороны MN, используя теорему косинусов в треугольнике MON. Радиус окружности равен 12 см, поэтому OM = ON = 12 см.

• MN² = OM² + ON² - 2 ⋅ OM ⋅ ON ⋅ cos(∠MON)
• MN² = 12² + 12² - 2 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ cos(120°)
• MN² = 144 + 144 - 2 ⋅ 144 ⋅ (-0.5)
• MN² = 288 + 144 = 432
• MN = √432 = √(144 ⋅ 3) = 12√3 см

2. Найдем длину стороны NK, используя теорему косинусов в треугольнике NOK. Радиус окружности равен 12 см, поэтому ON = OK = 12 см.

• NK² = ON² + OK² - 2 ⋅ ON ⋅ OK ⋅ cos(∠NOK)
• NK² = 12² + 12² - 2 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ cos(90°)
• NK² = 144 + 144 - 2 ⋅ 144 ⋅ 0
• NK² = 288
• NK = √288 = √(144 ⋅ 2) = 12√2 см

Ответ: MN = 12√3 см, NK = 12√2 см.