2) $\int_{0}^{4} \frac{dx}{x^2-9}$

Question

$Фото задания: 2) $\int_{0}^{4} \frac{dx}{x^2-9}$$ Фото задания

Accepted Answer

Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{x^2-9} $ используем метод разложения на простые дроби.

Разложим знаменатель: $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $.
Представим подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей: $ \frac{1}{x^2-9} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3} $.
Приведем к общему знаменателю: $ 1 = A(x+3) + B(x-3) $.
Найдем коэффициенты A и B:
Если $ x=3 $: $ 1 = A(3+3) + B(3-3) \Rightarrow 1 = 6A \Rightarrow A = \frac{1}{6} $.
Если $ x=-3 $: $ 1 = A(-3+3) + B(-3-3) \Rightarrow 1 = -6B \Rightarrow B = -\frac{1}{6} $.
Таким образом, $ \frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{6(x-3)} - \frac{1}{6(x+3)} $.
Проинтегрируем: $ \int \frac{dx}{x^2-9} = \int \left( \frac{1}{6(x-3)} - \frac{1}{6(x+3)} \right) dx = \frac{1}{6} \ln|x-3| - \frac{1}{6} \ln|x+3| + C = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + C $.
Вычислим определенный интеграл. Обратите внимание, что функция $ \frac{1}{x^2-9} $ имеет разрыв в точке $ x=3 $, которая входит в пределы интегрирования $ [0, 4] $. Следовательно, интеграл является несобственным и расходится.

Ответ: Интеграл расходится.

2) \(\int_{0}^{4} \frac{dx}{x^2-9}\)