Контрольные задания
Вопрос:

4) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx\)

Фото задания: 4) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx\)Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Сделаем замену переменной. Пусть \( u = \sin x \). Тогда \( du = \cos x dx \).
  2. Найдем пределы интегрирования для новой переменной \( u \):
    При \( x = \frac{\pi}{6} \): \( u = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
    При \( x = \frac{\pi}{3} \): \( u = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  3. Интеграл примет вид: \( \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{u^3} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{-3} du \).
  4. Проинтегрируем: \( \int u^{-3} du = \frac{u^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C \).
  5. Вычислим определенный интеграл:
    \( \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \left( -\frac{1}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(\frac{1}{2})^2} \right) \).
  6. Подставим значения:
    \( = \left( -\frac{1}{2(\frac{3}{4})} \right) - \left( -\frac{1}{2(\frac{1}{4})} \right) = \left( -\frac{1}{\frac{3}{2}} \right) - \left( -\frac{1}{\frac{1}{2}} \right) = -\frac{2}{3} - (-2) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \).

Ответ: \( \frac{4}{3} \).