9) \(\int_{0}^{2} 3x \cdot 4^x dx\)

Решение:

1. Для вычисления интеграла \( \int_{0}^{2} 3x \cdot 4^x dx = 3 \int_{0}^{2} x \cdot 4^x dx \) используем интегрирование по частям.
2. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).
3. Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \).
4. Пусть \( dv = 4^x dx \). Тогда \( v = \int 4^x dx = \frac{4^x}{\ln 4} \).
5. Применим формулу:
   \( 3 \int_{0}^{2} x \cdot 4^x dx = 3 \left[ x \cdot \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} \frac{4^x}{\ln 4} dx \).
6. Вычислим первый член:
   \( 3 \left[ x \cdot \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{0}^{2} = 3 \left( 2 \cdot \frac{4^2}{\ln 4} - 0 \cdot \frac{4^0}{\ln 4} \right) = 3 \left( 2 \cdot \frac{16}{\ln 4} - 0 \right) = 3 \cdot \frac{32}{\ln 4} = \frac{96}{\ln 4} \).
7. Вычислим второй интеграл:
   \( 3 \int_{0}^{2} \frac{4^x}{\ln 4} dx = \frac{3}{\ln 4} \int_{0}^{2} 4^x dx = \frac{3}{\ln 4} \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{0}^{2} \).
8. \( = \frac{3}{(\ln 4)^2} \left[ 4^x \right]_{0}^{2} = \frac{3}{(\ln 4)^2} (4^2 - 4^0) = \frac{3}{(\ln 4)^2} (16 - 1) = \frac{3 \cdot 15}{(\ln 4)^2} = \frac{45}{(\ln 4)^2} \).
9. Объединим результаты:
   \( \frac{96}{\ln 4} - \frac{45}{(\ln 4)^2} \).
10. Заметим, что \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \).
11. \( \frac{96}{2 \ln 2} - \frac{45}{(2 \ln 2)^2} = \frac{48}{\ln 2} - \frac{45}{4(\ln 2)^2} \).

Ответ: \( \frac{96}{\ln 4} - \frac{45}{(\ln 4)^2} \) или \( \frac{48}{\ln 2} - \frac{45}{4(\ln 2)^2} \).