2. $$\int\frac{x^3 dx}{1+4x^4}$$

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Пусть \( u = 1 + 4x^4 \). Тогда дифференциал \( du \) будет:

\( du = d(1 + 4x^4) = 0 + 4 · 4x^3 dx = 16x^3 dx \)

Из этого следует, что \( x^3 dx = \frac{1}{16} du \).

Теперь подставим \( u \) и \( du \) в интеграл:

\( \int\frac{x^3 dx}{1+4x^4} = \int\frac{\frac{1}{16} du}{u} = \frac{1}{16} \int\frac{1}{u} du \)

Интеграл от \( \frac{1}{u} \) равен \( \ln|u| \).

\( \frac{1}{16} \ln|u| + C \)

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив \( u = 1 + 4x^4 \):

\( \frac{1}{16} \ln|1 + 4x^4| + C \)

Так как \( 1 + 4x^4 \) всегда положительно для любого действительного \( x \), модуль можно убрать.

Ответ: \( \frac{1}{16} \ln(1 + 4x^4) + C \)