3. $$\int\cos3xdx$$

Решение:

Для решения данного интеграла используем метод замены переменной.

Пусть \( u = 3x \). Тогда дифференциал \( du \) будет:

\( du = d(3x) = 3 dx \)

Отсюда выразим \( dx \):

\( dx = \frac{1}{3} du \)

Теперь подставим \( u \) и \( dx \) в интеграл:

\( \int\cos3x dx = \int\cos(u) \cdot \frac{1}{3} du \)

Вынесем константу \( \frac{1}{3} \) за знак интеграла:

\( \frac{1}{3} \int\cos(u) du \)

Интеграл от \( \cos(u) \) равен \( \sin(u) \).

\( \frac{1}{3} \sin(u) + C \)

Вернемся к исходной переменной, подставив \( u = 3x \):

\( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)

Ответ: \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)