4. $$\int(x+2)\sin x dx$$

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).

Выберем \( u \) и \( dv \):

Пусть \( u = x + 2 \)

Тогда \( du = d(x+2) = dx \)

Пусть \( dv = \sin x dx \)

Тогда \( v = \int \sin x dx = -\cos x \)

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

\( \int(x+2)\sin x dx = (x+2)(-\cos x) - \int(-\cos x) dx \)

Упростим выражение:

\( -(x+2)\cos x + \int\cos x dx \)

Теперь проинтегрируем \( \cos x \):

\( \int\cos x dx = \sin x \)

Подставим результат обратно:

\( -(x+2)\cos x + \sin x + C \)

Можно раскрыть скобки:

\( -x\cos x - 2\cos x + \sin x + C \)

Ответ: \( -x\cos x - 2\cos x + \sin x + C \)